Лекция 5

ТЕМА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

ЛЕКЦИЯ № 6

ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

РЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

 

 

ПЛАН

 

Геометрические и физические приложения.

Приближенные методы вычисления интегралов.

 

1.1 Вычисление площадей плоских фигур

 

а) Вычисление площадей в прямоугольной системе координат.

неотрицательна на

нейной

трапеции, ограниченной кривой

(рисунок 13),

ле:

Рисунок 13

ного интеграла.

 

 

— неположительна

(рисунок 14)

вычисляется по формуле:

(39)

ем

Рисунок 14

.

фигуры,

на этом отрезке

(рисунок 15)определяется формулой:

(40)

 

Рассмотрим случай, когда

   

может быть определена как разность

   

Рисунок 15

.

с сохранением

, для любых

.

Если плоская фигура имеет «сложную»

ми оси

Оу, ее следует разбить на части так, чтобы

можно было бы применить уже известные

   

Рисунок 16

(41)

 

Если криволинейная трапеция ограничена

, осью Оу и непрерыв-

(рисунок 17), то

муле:

Рисунок 17

.

венно:

).

ния.

:

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 19

, используя формулу (41).

найдем координаты точки А(1; 1).

).

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 21

 

б) Вычисление площадей в параметрической форме.

дится по формуле:

(43)

.

 

Найти площадь фигуры,

.

.

вательно,

до 0 (рисунок 22).

Рисунок 22

.).

 

1.2 Вычисление объемов тел

 

ний.

го сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рисунок 23).

 

 

 

 

 

 

Рисунок 23

.

линдров будет

.

.

, то указанный предел существует и выражается определенным интегралом:

(44)

речного сечения.

 

б) Объем тела вращения.

(рисунок 24).

.

. Применяя формулу (44) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

(45)

мулой (45), равен

(46)

 

 

 

 

 

 

   Рисунок 25

 

Вычислить объем тела,

которое получается при вращении

вокруг оси Ох криволинейной тра-

пеции, ограниченной гиперболой

= 12 и

цисс.

Построим фигуру,

ограниченную заданными ли-

ниями, а затем тело вращения

   Рисунок 26

По формуле (45) имеем

   

Найти объем тела, полученного

от вращения вокруг оси ординат плоской

.

Проецируя вращаемую фигуру

Рисунок 27

;

.).

 

Работа переменной силы.

.

.

.

 

 

 

Рисунок 28

но:

.

 

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

 

.

рирования.

заменяют другой, «близкой» к ней функцией, первообразная которой находится элементарным способом.

ся вписанной в нее ломаной или кривой.

 

b

.

.

Для наглядности будем считать,

.

рав-

:

сунок 28

.

).

 

Формулы прямоугольников

ции на одном из концов этого отрезка.

Пусть, например, на каждом из

ступенчатая функция

принимает значения, равные значению

рез-

.

Тогда площадь криволинейной трапе-

чатой

Рисунок 29

т.е.

(47)

 

Если же значения ступенчатой функции

ют

на правых

нок 30), то полу-

чаем формулу:

Рисунок 30

(48)

.

принимают среднее арифметическое значений, полученных по формулам (47) и (48).

Погрешность этих формул может быть оценена следующим образом:

(49)

все наоборот.

 

Формула трапеций

Подынтегральную функцию

заменим функцией, представ-

ляющей собой ломаную линию,

рой соединяют концы

(ри-

сунок 31). В этом случае площадь

криволинейной трапеции (а, сле-

   Рисунок 31

.

.

(50)

.

   Погрешность этой формулы может быть оценена следующим образом:

(51)

 

Формула Симпсона

ций, а дугами парабол, оси которых параллельны оси Оу.

.

Найдем площадь такой криволинейной трапеции (рисунок 32).

 

 

.

,

.

Умножим второе уравнение на 4 и сложим

   

Рисунок 32

венство, имеем, что:

(52)

.

ведливой, так как при параллельном пере-

не изменяются.

Можно доказать, что коэффициенты

, входящие в уравнение параболы

значно,

в силу того, что через любые три точки плос-

   Рисунок 33

равных частей.

.

нок 34).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 34

 

 

 

(53)

нить так:

(54)

грешности для каждой из формул; сделать выводы.

1) Вычислим данный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

.

ми.

.

i

11

)

1

0

1,0000

 

2

0,1

 

0,9901

3

0,2

 

 

4

0,3

 

0,9174

5

0,4

 

 

6

0,5

 

0,8000

7

0,6

 

 

8

0,7

 

0,6711

9

0,8

 

 

10

0,9

 

0,5525

11

1,0

0,5000

 

 

1,5000

= 3,9311

= 3,1687

 

   

Так как подынтегральная функция убывает на [0; 1], то, используя эту формулу, мы получим приближенное значение интеграла с избытком:

 

(55)

.

грешности к точному значению интеграла в процентах:

(56)

.

Формулу прямоугольников (48) запишем в виде:

чение интеграла с недостатком.

Абсолютная погрешность:

.

.

пеций. Формулу трапеций (48) перепишем в виде:

   

Тогда для данного интеграла

 

Абсолютная и относительная погрешности равны нулю. Вычислим приближенное значение интеграла по формуле Симпсона.

Формулу Симпсона (53) запишем в виде:

Тогда для данного интеграла

.

лученные результаты, замечаем, что формулы трапеций и Симпсона дают наибольшее приближение к точному значению интеграла.

 

 

 

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *