ЛЕКЦИЯ 6

2

 

ТЕМА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

6

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ПЛАН

Формула Ньютона – Лейбница.

Свойство определенного интеграла с переменным верхним

.

определенных интегралов.

 

Вычисление определенного интеграла по формуле

Ньютона-Лейбница

 

числением первообразной, выражается формулой Ньютона-Лейбница.

 

. Тогда определенный инте-

равен приращению первообразной

резке:

(25)

(рисунок 10).

 

 

Рисунок 10

Рассмотрим тождество

.

   Преобразуем каждую разность в скобках по теореме Лагранжа

(26)

Получаем

;

(27)

.

.

, получаем

.

.

.

.

. Сделаем это так, чтобы формула Ньютона-Лейбница оставалась справедливой.

(28)

Проверим справедливость формулы Ньютона-Лейбница:

.

Принимая во внимание (28), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

.

ния, поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

ления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

­ределенного интеграла.

 

;

.

.

.

.

 

.

По формуле (21) имеем:

(ед.массы).

 

Дальнейшие свойства определенного интеграла

 

такая, что

(29)

.

.

(рисунок 11). Число

(30)

.

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 11

.

имеет тот же знак, что и функция:

, то

(31)

.

, что требовалось доказать.

 

можно почленно интегрировать.

, то

(32)

, т.е.

.

 

. Оценка интеграла.

), то

(33)

.

Применяя к крайним интегралам свойства 1 и 4, получаем

.

сунок 12).

 

 

 

 

 

 

Рисунок 12

. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

(34)

.

.

вания заменена этим пределом, т.е.:

(35)

.

лом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

 

Методы интегрирования

 

рования, аналогичные методам интегрирования в неопределенном интеграле. Рассмотрим основные из них.

 

.1 Формула интегрирования по частям в определенном

ле

 

. Тогда справедлива следующая формула:

(36)

. Поэтому

.

.

ния по частям в неопределенном интеграле справедливы и для определенного интеграла.

.

 

.

.

 

 

.2 Замена переменной в определенном интеграле

 

   Часто при вычислении определенного интеграла применяется метод замены переменной.

 

ной в определенном интеграле:

(37)

1. Сначала убедимся в том, что интеграл, стоящий в правой части этой формулы существует.

ходит за его пределы.

.

.

, так как

.

 

.

.

 

;

.

.

б)

 

 

 

 

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *