ЛЕКЦИЯ 11

ТЕМА «ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

1

тремум функции двух переменных

 

ПЛАН

.

.

Необходимые и достаточные условия существования

.

 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

 

имеет вид:

 

(1)

 

, имеют вид:

 

(2)

 задана уравнением

)

ные, одновременно не равные нулю. Тогда

)

.

 запишется так:

)

 — так:

)

Уравнение

 (рис. 1).

Рис. 1

) имеет частные производные

,

ляется уравнением

.

, т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение

.

 

Имеем

 

(2):

. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу

Имеем

Тогда

Уравнение касательной плоскости запишем в виде

.

2. Экстремум функции двух переменных

 

(внутренняя точка области).

 

)).

 

z = f(х, у).

Значение функции в точке макси-

мума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции

мом.

Рис. 1

 

функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

 

 

2. Необходимые и достаточные условия существования

(х, у)

 

 

еобходимые условия существования экстремума).

и имеет

.

 

   

может иметь экстремум только в

тех точках, где частные производные либо равны нулю, либо не су-

ществуют.

 

Точки, в которых частные производные функции

либо обращаются в нуль, либо не существуют,

.

 

).

 

Таким образом, для нахождения экстремумов функции необходимы дополнительные исследования функции в каждой критической точке.

Вопрос о достаточных условиях экстремума для функции двух и более переменных сложен. Поэтому следующую теорему о достаточных условиях экстремума функции двух переменных примем без доказательства.

 

(достаточные условия существования экстремума).

и некоторой

её окрестности имеет непрерывные частные производные второго

жим

 

.

 

Тогда:

имеет экстремум в точке

А > 0;

 

экстремума не имеет;

экстремум может быть,

может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

 

 

.

 

2. Найдем частные производные функции:

; .

Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Следовательно, критические точки найдем, решая систему уравнений:

 

 

.

 

(1, 1).

 

Найдем частные производные второго порядка данной функции:

 

, ,

.

 

= –9 < 0.

функция экстремума не имеет.

. Также

экстремума нет.

Функция

экстремума не имеет.

> 0.

(1; 1)=3 –1 – 1 =1.

 

 

 

1

 

Leave a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *